ปัญหาเข็มของบึฟฟองBuffon’s Needle

เห็นมีคนพูดถึงปัญหานี้ในกลุ่มผู้ใช้ R ของไทยเราเลยเอามาเขียนโปรแกรมทำบ้างแต่ใช้ภาษา Wolfram แทนเพราะจะเขียนได้สั้นมาก

โปรแกรมที่เขียนนี้จะวาดเส้นแนวนอนที่มีระยะห่างตามที่กำหนดและก็สุ่มวางเข็มตามขนาดและจำนวนที่ต้องการลงไปแล้วนับดูว่าที่กี่เล่มที่ทับเส้น จากนั้นก็คำนวณประมาณค่า pi จากสูตรที่เขียนไว้ที่ https://en.wikipedia.org/wiki/Buffon%27s_needle ซึ่งก็คือ

โดย l คือความยาวเข็ม, n  คือจำนวนเข็ม, t คือระยะห่างระหว่างเส้นบรรทัด และ h คือจำนวนเข็มที่ทับเส้นบรรทัด

สำหรับวาดเส้นของเข็มและเส้นบรรทัด

genNeedle[{x_, y_}, \[Theta]_, len_] := 
 Line[{{(x + 0.5 len Cos[\[Theta]]), (y + 0.5 Sin[\[Theta]])}, {(x - 
      0.5 len Cos[\[Theta]]), (y - 0.5 len Sin[\[Theta]])}}]

horizontalLine[diff_, len_, {x0_, y0_}, n_] := 
 Table[Line[{{x0, y0 + (i diff)}, {len, y0 + (i diff)}}], {i, n}]

สำหรับประมาณค่า pi

estimatedPi[needlelength_, nneedles_, linespace_, ncross_] := 
 2.*needlelength*nneedles/(linespace*ncross)

สำหรับ simulation

run[nl_, nfl_, ll_, diff_] := 
  Module[{fls, ls, outls, pnts, ncross}, 
   fls = horizontalLine[diff, 10, {0, 0}, nfl];
   ls = Table[
     genNeedle[{RandomReal[{0, 10}], RandomReal[{0, nfl*diff}]}, 
      RandomReal[\[Pi]], ll], {nl}];
   outls = 
    Table[Solve[{x, y} \[Element] RegionIntersection[fls[[i]], #], {x,
          y}] & /@ ls, {i, Length@fls}];
   pnts = Point[{x, y}] /. Flatten[outls, 2];
   ncross = Length@Flatten[outls, 2];
   Graphics[{fls, ls, Red, PointSize[Medium], 
     If[Length@Flatten[outls, 2] > 0, pnts]}, 
    PlotLabel -> 
     Style["จำนวนเข็มที่ทับเส้น:" <> ToString@ncross <> 
       " \[Pi]\[TildeTilde]" <> 
       ToString@estimatedPi[ll, nl, diff, ncross], FontSize -> 20, 
      Bold]]];

ทดลองเล่นดู โดยใช้เข็ม 100 เล่ม และกำหนดให้มีเส้นบรรทัด 10 เส้น โดยระยะห่างระหว่างบรรทัดกับความยาวเข็มเท่ากัน

nlines = 10;
nneedles = 100;
ndlength = 1;
linespace = 1;
run[nneedles, nlines, ndlength, linespace]

สำหรับmathematica notebook สามารถdownloadได้จากhttps://github.com/slphyx/Buffon-s-Needle

Leave a Reply